Korrespondenzsatz (Gruppentheorie)

Der Korrespondenzsatz beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie den Sachverhalt, dass die Untergruppen in einer Faktorgruppe ${\displaystyle G/N}$ genau denjenigen Untergruppen der Ausgangsgruppe entsprechen, die den Normalteiler ${\displaystyle N}$ umfassen. Die Bezeichnung Korrespondenzsatz wird, wenn auch seltener, für ähnliche Beziehungen zwischen Unterstrukturen anderer algebraischer Strukturen verwendet.

Korrespondenzsatz in der Gruppentheorie

Es sei ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow H}$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern ${\displaystyle N}$. Dann ist die Zuordnung

${\displaystyle U\mapsto \varphi (U)}$

eine Bijektion zwischen der Menge aller ${\displaystyle N}$ umfassenden Untergruppen ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle G}$ auf die Menge aller Untergruppen von ${\displaystyle H}$.

${\displaystyle V\mapsto \varphi ^{-1}(V)}$

ist die Umkehrabbildung. Die Untergruppen von ${\displaystyle H}$ korrespondieren also eineindeutig zu den Untergruppen von ${\displaystyle G}$, die ${\displaystyle N}$ enthalten. Dabei werden in beiden Richtungen Normalteiler auf Normalteiler abgebildet.

Spezialisiert man diese Aussage auf ${\displaystyle G/N\cong H}$, so erhält man, dass die Untergruppen (bzw. Normalteiler) von ${\displaystyle G/N}$ genau diejenigen der Form ${\displaystyle U/N}$ sind mit einer Untergruppe (bzw. einem Normalteiler) ${\displaystyle N\subset U\subset G}$.

Diese Zuordnung ist monoton, das heißt für Untergruppen ${\displaystyle N\subset U_{1},U_{2}\subset G}$ gilt ${\displaystyle U_{1}\subset U_{2}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle U_{1}/N\subset U_{2}/N}$.

Folgerung: Ein Normalteiler ${\displaystyle N}$ ist genau maximal unter allen Normalteilern von ${\displaystyle G}$, wenn ${\displaystyle G/N}$ einfach ist.

Korrespondenzsatz in der Ringtheorie

Es seien ${\displaystyle R}$ ein Ring mit Einselement und ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R}$ ein zweiseitiges Ideal. Dann ist die Zuordnung

${\displaystyle {\mathfrak {b}}\mapsto {\mathfrak {b}}/{\mathfrak {a}}}$

eine Bijektion von der Menge aller ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ umfassenden Linksideale auf die Menge der Linksideale in ${\displaystyle R/{\mathfrak {a}}}$. Diese Zuordnung is monoton, das heißt für Linksideale ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}},{\mathfrak {b'}}\subset R}$ gilt ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {b'}}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {\mathfrak {b}}/{\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b'}}/{\mathfrak {a}}}$

Korrespondenzsatz für Moduln

Es seien ${\displaystyle M}$ ein Links-R-Modul und ${\displaystyle T\subset M}$ ein Untermodul. Dann ist die Zuordnung

${\displaystyle S\mapsto S/T}$

eine Bijektion von der Menge aller ${\displaystyle T}$ umfassenden Untermoduln ${\displaystyle S\subset M}$ auf die Menge aller Untermoduln von ${\displaystyle M/T}$. Diese Zuordnung ist monoton, das heißt für Untermoduln ${\displaystyle T\subset S,S'\subset M}$ gilt ${\displaystyle S\subset S'}$ genau dann, wenn ${\displaystyle S/T\subset S'/T}$.

Einzelnachweise